Question

已知函数f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）设（1）问中函数取得极大值的点为P（x，y），求点P的轨迹方程．

Answer

（1）由f（x）=16x3-20ax2+8a2x-a3，知f'（x）=48x2-40ax+8a2=8（2x-a）（3x-a），由f′（x）=0，得，由此能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（2）由（1）可知：当a＞0时，y=x3（x＞0）；当a＜0时，y=0（x＜0），由此能求出P点的轨迹方程．
【解析】
（1）∵f（x）=16x3-20ax2+8a2x-a3，其中a≠0，
∴f'（x）=48x2-40ax+8a2=8（2x-a）（3x-a）
由f′（x）=0，得，
当a＞0时，，见下表：

x
f'（x） + - +
f（x） 增函数 极大 减函数 极小 增函数

∴当时，函数取得极大值为；
当时，函数取得极小值为
当a＜0时，，见下表：

x
f'（x） + - +
f（x） 增函数 极大 减函数 极小 增函数

∴当时，函数取得极大值为；
当时，函数取得极小值为，
（2）由（1）可知：
当a＞0时，，消去a得：y=x3（x＞0），
当a＜0时，，消去a得：y=0（x＜0），
所以 P点的轨迹方程为：．