Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知a₃=5，S₉=81，
①求数列{a_n}的通项公式；
②设bn=，证明{b_n}是等比数列，并求其前n项和T_n．
③设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n} 的前n项的和M_n．

Answer

①由等差数列中，a3=5，S9=81，利用通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a1=1，d=2，由此能求出an=2n-1．
②由bn=，知bn=22n-1=，由此能够证明{bn}是以2以道貌岸然项，以4为公比的等比数列．并能求出其前n项和Tn．
③由cn=an•bn=（2n-1），知Mn=（2-1）+（2ו+（2×3-1）+…++（2n-1）×4n，由错位相减法能够求出数列{cn} 的前n项的和Mn．
【解析】
①∵等差数列，a3=5，S9=81，
∴，
解得a1=1，d=2，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1．
②∵bn=，
∴bn=22n-1=，
，，
，
∴{bn}是以2以道貌岸然项，以4为公比的等比数列．
Tn==．
③∵cn=an•bn=（2n-1），
∴Mn=（2-1）+（2ו+（2×3-1）+…++（2n-1）×4n，
++…++（2n-1）×4n+1，
∴4n+1
=2+-（2n-1）
=2+，
∴．