Question

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．设数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N^*）．
（Ⅰ）求通项公式a_n的表达式；
（Ⅱ）令，S_n=b₁+b₂+…+b_n，，试比较S_n与的大小，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）令y=0，x＜0，得f（x）[1-f（0）]=0，由x＜0，f（x）＞1，知a1=f（0）=1，由递推关系知f（an+1-2-an）=f（0），由此能够推导出an．
（Ⅱ）由=，知=，=，所以，欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小．
【解析】
（Ⅰ）由题意，令y=0，x＜0，得f（x）[1-f（0）]=0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴a1=f（0）=1…（2分）
由递推关系知f（an+1）•f（-2-an）=1，即f（an+1-2-an）=f（0），
∵f（x）在R上单调，∴an+1-an=2，（n∈N*），…（4分）
又a1=1，∴an=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）=，
∴=，=，…（10分），
∴欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小．…（11分）
∵4n=（1+3）n=Cn+Cn1•3+…+Cnn•3n≥1+3n＞2n+1，…（13分）
∴Sn＞．…（14分）