Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，，，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer

解法一：（1）先利用PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A证得PA⊥底面ABC⇒PA⊥BC；再结合∠BCA=90°，即可证得BC⊥平面PAC；
（2）先利用D为PB的中点⇒DE∥BC⇒DE⊥平面PAC，得到∠DAE是AD与平面PAC所成的角；然后在Rt△ADE中求出任意两边长即可得到AD与平面PAC所成的角的正弦值．
解法二：先建立以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a．求出对应各点的坐标；
（1）求出，，得到BC⊥AP；再结合∠BCA=90°，即可证得BC⊥平面PAC；
（2）先利用D为PB的中点⇒DE∥BC⇒DE⊥平面PAC，得到∠DAE是AD与平面PAC所成的角；然后求出夹∠DAE两边的向量坐标，代入向量的数量积计算公式，求出cos∠DAE；再根据同角的正余弦之间的关系即可得到结论．
【解析】
（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=BC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是．（12分）
（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），，．
（1）∵，，
∴，
∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴E为PC的中点，
∴，，
∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵=（-），=（0，a，a），
∴cos∠DAE=，sin∠DAE==．
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为．（12分）