Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，则平面B₁D₁E与平面ABCD所成的二面角的余弦值为    ．

Answer

利用空间向量求二面角，先建立空间直角坐标系，求出各定点坐标，再求出平面B1D1E与平面ABCD的法向量，则法向量所成角就是两个平面所成角或其补角．求出两个平面的法向量，用向量的夹角公式求法向量所成角，再结合图象判断两平面所成角是锐角还是钝角．
【解析】
如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1
则D1（0，0，1），B1（1，1，1），E（，1，0），=（1，1，0）=（，1，-1）
设平面B1D1E的法向量为=（x，y，z），则，
即取=（2，-2，-1），
∵D1D⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的法向量为，且=（0，0，1）
∴cos＜，＞===-，
由图可知平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角为锐角，
∴平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角的余弦值为