Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）求点A到面EFG的距离．

Answer

解法一（1）由已知中ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，可得AD⊥AB，AD⊥PA，进而由线面垂直的判定定理得到AD⊥面PAB，结合E、F分别是线段PA、PD的中点及三角形中位线定理可得EF/AD，结合线面垂直的第二判定定理可得EF⊥面PAB，再由面面垂直的判定定理得到面EFG⊥面PAB；
（2）取BC的中点M，连接GM、AM、EM，由异面直线夹角的定义可得∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角，解△MAE可得答案．
（3）取AB中点H，连接GH，HE，过点A作AT⊥HE于T，则AT就是点A到平面EFG的距离，解Rt△AEH，即可得到点A到面EFG的距离．
解法二：（1）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出向量，，的坐标，根据两个向量数量积为0，向量垂直，易判断出EF⊥AP，EF⊥AB，结合线面垂直的判定定理得到答案．
（2）分别求出向量，的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（3）求出平面EFC的法向量，及向量的坐标，代入点A到平面EFG的距离公式，可得答案．
解法一（1）证明：∵ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA
又AB∩PA=A，∴AD⊥面PAB．…（1分）
∵E、F分别是线段PA、PD的中点，
∴EF/AD，∴EF⊥面PAB．…（2分）
又EF⊂面EFG，∴面EFG⊥面PAB．…（3分）
（2）【解析】
取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．（4分）
在Rt△MAE中，，
同理，…（5分）
又，∴在△MGE中，…（6分）
故异面直线EG与BD所成的角为arccos，…（7分）
（3）【解析】
取AB中点H，连接GH，HE，则GH∥AD∥EF，
∴E、F、G、H四点共面，过点A作AT⊥HE于T，
∵面EFGH⊥面PAB，∴AT⊥平面EFGH，…（9分）
∴AT就是点A到平面EFG的距离．…（10分）
在Rt△AEH中，AE=AH=1，
∴，
故点A到平面EFG的距离为．…（12分）
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）．
（1）证明：∵=（0，1，0），=（0，0，2），=（2，0，0），
∴•=0×0+1×0+0×2=0，•=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB．…（1分）
又∵AP、AB⊂面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB．…（2分）
又EF⊂面EFG，∴平面EFG⊥平面PAB．…（3分）
（2）【解析】
∵，…（4分）
∴，…（6分）
故异面直线EG与BD所成的角为arcos．…（7分）
（3）【解析】
设平面EFC的法向量=（x，y，z），…（8分）
则…（10分）
令z=0，得=（1，0，1）．…（11分）
又=（0，0，1），∴点A到平面EFG的距离．…（12分）