Question

如图，PA垂直直角梯形ABCD所在平面，AB⊥AD，BC∥AD，，点M在PC上．
（Ⅰ）求证：AM⊥CD；
（Ⅱ）若M是PC的中点，求二面角M-AD-C的大小．

Answer

（I）由已知中PA垂直直角梯形ABCD所在平面，可得PA⊥CD，又由直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，，可得AC⊥CD，进而由线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由线面垂直的性质定理得到AM⊥CD；
（Ⅱ）取AC的中点N，连接MN，过N作NQ⊥AD，垂足为Q，连接MQ．由三角形的中位线定理可得MN∥PA，进而由线面垂直的第二判定定理可得MN⊥面ABCD，则∠MQN为二面角M-AD-C的平面角，解△MQN即可得到答案．
证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，CD⊈面ABCD，
∴PA⊥CD．
又在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，，
∴AD=2a，AC=CD=a
∴AD2=AC2+CD2
∴AC⊥CD．
∵PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
∵AM⊈面PAC，∴AM⊥CD；
【解析】
（Ⅱ）取AC的中点N，连接MN，过N作NQ⊥AD，垂足为Q，连接MQ．
∵M是PC的中点，∴MN∥PA．
∵PA⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，
则∠MQN为二面角M-AD-C的平面角．
∵，，
∴∠MQN=45°，即二面角M-AD-C的大小为45．