Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，M、N分别是AC和B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥侧面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求MN与平面ABC所成的角的大小（用反三角函数表示）．

Answer

（Ⅰ）要证MN∥侧面ABB1A1，只需取A1B1的中点P，连接NP、AP，证明MN∥AP．MN⊄面ABB1A1，AP⊂面ABB1A1，即可．
（Ⅱ）通过MN与平面ABC所成的角和AP与平面ABC所成的角相等．连接PB，说明，∠PAB为直线PA与面ABC所成的角，通过，求MN与平面ABC所成的角的大小（用反三角函数表示）．
解（Ⅰ）证明：取A1B1的中点P，连接NP、AP，
则NP∥AM，，
∴四边形AMNP为平行四边形，∴MN∥AP．
∵MN⊄面ABB1A1，AP⊂面ABB1A1，
∴MN∥侧面ABB1A1．
（Ⅱ）∵MN∥AP，∴MN与平面ABC所成的角和AP与平面ABC所成的角相等．连接PB，
∵四边形ABB1A1为菱形，且∠A1B1B=60°，∴PB⊥AB．
∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，
∴PB⊥底面ABC，∴∠PAB为直线PA与面ABC所成的角．
∵，∴，∴，
即MN与面ABC所成的角为．