Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=BB₁=2，，E、F分别是AB和BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面A₁D₁E；
（Ⅱ）求三棱锥E-FC₁D₁的体积．

Answer

（Ⅰ）要证EF⊥平面A1D1E只需证明A1D1⊥EF，A1E⊥EF，又A1E∩A1D1=A1即可．
（Ⅱ）要求三棱锥E-FC1D1的体积，转化为求，两者体积相等求解即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1⊥面AB1，EF⊂面AB1，
∴A1D1⊥EF．
又由已知：AE=，BF=1，AA1=2，BE=，
∴，
又∠A1AE=∠EBF=90°，
∴Rt△AA1E∽Rt△BEF，
∴∠AEA1+∠BEF=∠AEA1+∠．
∴A1E⊥EF，又A1E∩A1D1=A1，
∴EF⊥平面A1D1E．
（Ⅱ）∵AB∥C1D1，AB⊄面FC1D1，C1D1⊂面FC1D1，
∴AB∥面FC1D1，
∴．