Question

已知函数，对于n∈N₊，定义f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，偶函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，g（x）=|f₂₀₀₉（x）|．
（1）求g（x）；
（2）若存在实数a，b（a＜b）使得该函数在[a，b]上的最大值为ma，最小值为mb，求非零实数m的取值范围．

Answer

（1）根据已知条件推导出迭代函数以3为周期，．由此能求出求g（x）．
（2）因为a＜b，ma＞mb＞0，所以m＜0，a＜b＜0；因为mb≠0，所以-1∉[a，b]．所以有两个不同实根，由此能求出非零实数m的取值范围．
【解析】
（1）因为
，
∴迭代函数以3为周期，
．…（5分）
设，
所以…（9分）
如图：
（2）∵a＜b，ma＞mb＞0
∴m＜0，a＜b＜0；…（12分）
∵mb≠0，
∴-1∉[a，b]（否则m=0，mb=ma=0，矛盾），
当，
所以有两个不同实根，

综上所述．（19分）．