Question

数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n²-2a_n+2（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}中的任两项互质．
（3）记，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S₂₀₀₉的整数部分．

Answer

（1）由an+1=an2-2an+2可得，an-1=（an-1-1）2，利用迭代的方法可求通项公式
（2）由an-2=an-1（an-1-2），利用迭代法可得，an=an-1an-2…a2a1+2，结合（1）中的通项公式可知an为奇数，可证明
（3）由an+1-2=an（an-2），可得，结合已知，可得，利用叠加法可求S2009，从而可求
【解析】
（1）由题意可得，
当也成立，所以（5分）
证明：（2）因为an-2=an-1（an-1-2）=an-1an-2（an-2-2）=…=an-1an-2…a2a1
所以an=an-1an-2…a2a1+2，（9分）；
因为an为奇数，所以对任意的n＞1，an与前面项a1，a2，…，an-1均互质．（12分）．
【解析】
（3）因为an+1-2=an（an-2）
所以，=
所以，又因为，
所以16分）；
所以S2009=b1+b2+…+b2009
=
∴
∵
∴
所以S2009的整数部分为1（19分）．