Question

今有一无盖水箱，它是在边长为60的正方形铁板的四个角上，各截去相同的四个小正方形后，再经折起焊接而成的（焊口连接问题不予考虑）．
（I）求水箱容积的表达式f（x），并指出f（x）的定义域；
（II）若要使水箱的容积最大，求水箱的底边长．

Answer

（I）设截去的小正方形的边长是x，水箱的底是正方形，边长为60-2x，水箱的高为x，水箱的容积是f（x），可得出因变量y与自变量x之间的关系式，由60-2x＞0，可求出f（x）的定义域．
（II）由（I）中函数的解析式，利用导数法，求出其函数值取最大值时，自变量x的值，即可得到要使水箱的容积最大，水箱的底边长．
【解析】
（I）由题意得，
∵设截去的小正方形的边长是x，
∴水箱的底边长为60-2x，水箱的高为x，
所以，水箱的容积是f（x）与x的函数关系式是：f（x）=（60-2x）2•x．
且f（x）的定义域为（0，30）
（II）由（I）中f（x）=（60-2x）2•x．
∴f′（x）=（60-2x）2•x=（60-2x）（60-6x），令
f′（x）=0，则x=10，或x=30（舍）
则当水箱底面为10时，水箱的容积最大．