Question

设t∈[-1，+∞），x=2^-t，y=4^-t+a•2^1+t-1，求y关于x的函数解析式f（x），并求其定义域和值域．

Answer

由x=2-t得t=-log2x，代入y=4-t+a•21+t-1，可得y关于x的函数解析式f（x），根据t∈[-1，+∞），可求函数定义域．
求导函数，根据极值点与函数定义域的关系进行分类讨论（1）当≥2即a≥8时，f（x）在（0，2]上单调递减；（2）当0＜上单调递减，上单调递增；（3）当a=0时，y=x2-1，值域为y∈（-1，3]；当＜0即a＜0时，f（x）在（0，2]上单调递增，故可求函数值域．
【解析】
由x=2-t得t=-log2x，代入y=4-t+a•21+t-1，得-1
定义域为0＜x≤2．
∵y'=2x-，（其中令x≠0）

（1）当≥2即a≥8时，f（x）在（0，2]上单调递减，
∴x=2时，ymin=3+a；x→0时，y→+∞，即值域为y∈[3+a，+∞）
（2）当0＜上单调递减，上单调递增，
∴x=．
（3）当a=0时，y=x2-1，值域为y∈（-1，3]
（4）当＜0即a＜0时，f（x）在（0，2]上单调递增，
∴x=2时，ymax=3+a；x→0时，y→-∞，即值域为y∈（-∞，3+a]．
综上可知，值域y=