Question

在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，则a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列．
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断逆命题是否为真？并给出证明．

Answer

（1）根据逆命题的要求直接写出逆命题即可．
（2）根据逆命题的条件推出公比q的值，然后验证结论是否成立．
【解析】
（1）在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．
（2）数列{an}的首项为a1，公比为q．由题意知：2am+2=am+am+1
即2•a1•qm+1=a1•qm-1+a1•qm∵a1≠0，q≠0，∴2q2-q-1=0，∴
当q=1时，有Sm=ma1，Sm+2=（m+2）a1，Sm+1=（m+1）a1，
显然：2Sm+2≠Sm+Sm+1．此时逆命题为假．
当时，有，
∴2Sm+2=Sm+Sm+1，此时逆命题为真．