Question

给定曲线f（x）=ax³+x²（a≠0）．
（1）若a=1，过点P（1，2）引曲线的切线，求切线方程；
（2）若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条，求点Q的坐标；
（3）若x∈（0，1）时，以曲线段上任一点为切点的切线斜率的绝对值不大于1，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求函数的导函数，然后讨论点P是否为切点，当P（1，2）为切点时，切线斜率k=f'（1），然后利用点斜式方程可求出切线方程，当P（1，2）不是切点时，设切点为T（x，x3+x2），切线斜率k=f'（x），然后根据k=kPT建立等式关系，求出切点，从而求出切线方程；
（2）设Q（x1，ax13+x12），以Q为切点时必然存在一条切线，求出切线方程，然后与曲线联立方程组，使关于x的方程只有一个根x1，△=0，可求出点Q的坐标；
（3）由题意得：-1≤3ax2+2x≤1，x∈（0，1）恒成立，然后将a分离出来得，然后分别研究左边函数在x∈（0，1）的最大值，右边函数在x∈（0，1）的最小值，即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）f（x）=x3+x2，f'（x）=3x2+2x
①当P（1，2）为切点时，切线斜率k=f'（1）=5，此时切线方程为y-2=5（x-1），即y=5x-3．
②当P（1，2）不是切点时，设切点为T（x，x3+x2），切线斜率k=f'（x）=3x3+2x
另一方面，k=kPT=
∴
∵x≠1，∴x=-1，∴T（-1，0），此时切线y=x+1
综上，所求的切线为y=5x-3或y=x+1．
（2）设Q（x1，ax13+x12），以Q为切点时必然存在一条切线．
切线斜率k=f'（x1）=3ax12+2x1，
切线方程为：y-（ax13+x12）=3（ax12+2x1）（x-x1），联立曲线y=ax3+x2，
得（x-x1）[ax2+（ax1+1）x-2ax12-x1]=0，
由于这样的切线只有一条，所以上述关于x的方程只有一个根x1，
即二次方程ax2+（ax1+1）x-2ax12-x1=0只有一个根x1，
显然把x=x1代入满足，故△=（ax1+1）2+4a（2ax12+x1）=0
化简为：△=9a2x12+6ax1+1=（3ax1+1）2=0，解得x1=-，得
（3）由题意得：-1≤3ax2+2x≤1，x∈（0，1）恒成立
∴
∵，
，
∴