Question

如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且BC=PD，O是AD的中点，E，F是PC，OD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；
（Ⅱ）证明：PF⊥平面ABCD．

Answer

（Ⅰ） 取BP中点G，证明EG和OF平行且相等，故四边形OFEG为平行四边形，得到EF∥GO，从而证得 EF∥面PBO．
（Ⅱ）由面面垂直的性质可得AB⊥PF，证明△OPD为正三角形可得PF⊥OD，进而证得 PF⊥平面ABCD．
【解析】
（Ⅰ）证明：取BP中点G，连EG，由E为PC中点，故EG∥BC，EG= BC，
又F为OD中点，∴OF∥BC，且 OF= BC，
∴EG和OF平行且相等，故四边形OFEG为平行四边形，∴EF∥GO．又GO⊂面PBO，
则EF∥面PBO．
（Ⅱ）∵四边形ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，∴AB⊥AD．
又平面ABCD⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PF⊂平面PAD，∴AB⊥PF．
在Rt△APD中，O为AE的中点，BC=PD，AD=2BC，∴PO=OD=PD，即△OPD为正三角形，
又F为OD的中点，∴PF⊥OD，∴PF⊥平面ABCD．