Question

若双曲线以椭圆的长轴的两个端点为焦点，且经过点（，3），求双曲线的标准方程，并求出它的离心率和渐近线方程．

Answer

利用椭圆的三个参数的关系求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线的方程，将已知点的坐标代入双曲线方程得到双曲线的三个参数的一个关系，再利用双曲线本身具有的关系，求出a，b，c的值，即得到双曲线的方程，最后写出它的离心率和渐近线方程即可．
【解析】
椭圆长轴的两个端点坐标为（-5，0），（5，0），…（1分）
所以所求双曲线的焦点为F1（-5，0），F2（5，0），
设所求双曲线方程为，…（2分）
∴a2+b2=25①…（3分）
又双曲线经过点（，3），所以有②…（4分）
由①②解得a2=16，b2=9                              …（8分）
∴所求双曲线的方程为．        
∵a2=16，b2=9∴c2=7                     
∴e=，
渐近线方程：y=±x                                …（12分）