Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线l：y=x+m．
（Ⅰ）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？
（Ⅱ）若直线l被椭圆截得的线段长为，求直线的方程．
（Ⅲ）若直线l与椭圆相交于A、B两点，是否存在m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，根据对应方程的判别式大于等于0即可求出m的取值范围；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，求出两交点坐标和直线的斜率之间的关系；再结合弦长公式即可求出直线的方程．
（Ⅲ）先联立直线方程与椭圆方程，求出A、B两点坐标和直线的斜率之间的关系；结合的对应结论即可求出m的值．
【解析】
（Ⅰ）把直线y=x+m代入4x2+y2=1得
5x2+2mx+m2-1=0     ①…（1分）
∴△=4m2-20（m2-1）=-16m2+20≥0
-≤m≤…（2分）
（Ⅱ）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
由①得，…（3分）
∴（x1+x2）2-4x1x2=…（4分）
∴=…（5分）
解得m=±…（6分）
∴所求直线方程为y=x±．                                   …（7分）
（Ⅲ）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
由①得
若存在m的值，使得，则有x1x2+y1y2=0…（8分）…（9分）
∴，解得                                     …（10分）
又由（1）直线和椭圆有公共点，需满足-≤m≤…（11分）
∵＜
∴存在满足题意                                       …（12分）