Question

已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=，过点C（-1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足．
（Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；
（Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

Answer

（Ⅰ）设椭圆E的方程为（a＞b＞0），直线的方程为y=k（x+1），由e=可得a，b之间的关系，由，得（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），结合二次方程有根及方程的根与系数的关系及S=|y1-y2|代入可求；
（Ⅱ）由（I）可得，结合基本不等式可求
【解析】
（Ⅰ）设椭圆E的方程为（a＞b＞0），直线的方程为y=k（x+1）
由e=∴a2=3b2
故椭圆方程x2+3y2=3b2                                 …（1分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2）），由，
得（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2）
可得…（2分）
由消去y整理（1+3k2）x2+6k2x+3（k2-b2）=0（3分）

由直线l与椭圆E相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点
∴…（4分）
而S△OAB=|y1-y2|=|-2y2-y2|=|y2|=|k（x2+1）|⑥…（6分）
由①④得：x2+1=-，代入⑥得：S△OAB=    …（7分）
（Ⅱ）因S△OAB=，…（8分）
当且仅当，S△OAB取得最大值，…（9分）
此时x1+x2=-1，又由①得=-1
∴x1=1，x2=-2                                               …（10分）
将x1，x2及k2=代入⑤得3b2=5，满足△＞0                      …（11分）
∴椭圆方程为x2+3y2=5                                    …（12分）