Question

已知椭圆的焦点是F₁（0，-1）和F₂（0，1），离心率e=，
（I）求此椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P在此椭圆上，且有|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer

（I）根据题意可得：c=1，，解得a=2，b=，进而写出椭圆的方程．
（Ⅱ）由椭圆的定义得：|PF1|+|PF2|=2a=4，结合题意可得：|PF1|=，|PF2|=，再根据余弦定理求出答案即可．
【解析】
（I）由已知可设椭圆的方程为：+=1（a＞b＞0），…（2分）
由条件知c=1，，
解得a=2，…（4分）
所以b2=a2-c2=3．…（5分）
所以椭圆的标准方程方程为…（6分）
（Ⅱ）因为点P在椭圆上，
 所以|PF1|+|PF2|=2a=4；…（8分）
又因为|PF1|-|PF2|=1，解得|PF1|=，|PF2|=，…（10分）
在△ABC中，=，

所以∠F1PF2的余弦值为．    …（12分）