Question

如图，点A、B分别是椭圆的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直线PA的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer

（I）由题设知A（-6，0），直线AP的斜率为，从而可得直线AP的方程
（Ⅱ）设M（m，0）（-6≤m≤6）由于M到直线AP的距离等于MB，可得结合-6≤m≤6，可求m，设P（x，y）是椭圆上任意一点，则．d=，结合二次函数的性质可求
【解析】
（I）由题设知A（-6，0），B（6，0），直线AP的斜率为，…（2分）
直线AP的方程为，即x-y+6=0．…（4分）
（Ⅱ）设M（m，0）（-6≤m≤6），…（5分）
由于M到直线AP的距离等于MB，
．…（6分）
∵-6≤m≤6，∴解得m=2，
M的坐标为（2，0）．…（8分）
设P（x，y）是椭圆上任意一点，则．
d=
当x=时d 有最小值