Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，，AB=2CD=8．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明平面MBD内的直线BD垂直平面PAD，即可证明平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处，证明PA∥MN，MN⊂平面MBD，即可证明PA∥平面MBD．
（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，说明PO为四棱锥P-ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面积，然后求四棱锥P-ABCD的体积．
证明：（Ⅰ）在△ABD中，
∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．
∴AD⊥BD．（2分）
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．
又BD⊂平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．（5分）
证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．
∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．
∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．
又∵CM：MP=1：2，
∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）
∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）

（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．
即PO为四棱锥P-ABCD的高．（11分）
又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴．（12分）
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．
∴梯形ABCD的面积．（14分）
故．（15分）