Question

已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），且截x轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．

Answer

我们可以使用待定系数法求圆的标准方程，即先设圆方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，再根据直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），可得圆心在过P点切与直线3x+4y-2=0垂直的直线上，圆心到直线3x+4y-2=0的距离等于半径，再由截x轴的正半轴所得的弦的长为8，我们可以构造一个关于a，b，r的方程组，解方程组求出a，b，r的值，即可得到此圆的标准方程．
【解析】
设圆方程为（x-a）2+（y-b）2=r2
过P点，且垂直于直线3x+4y-2=0的直线为y+1=（x-2），即4x-3y-11=0
圆心（a，b）在此直线上，且到点P的距离d=r，即：
①4a-3b-11=0，
②=r
将y=0代入圆方程，得：（x-a）2+b2=r2，
解得x1=a+，x2=a-
圆截x轴正半轴所得弦长8=|x1-x2|=2，即r2-b2=16 ③
①②③联立解得：r=5，a=5，b=3
所以圆方程为（x-5）2+（y-3）2=25