Question

设P、Q是单位正方体AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心．如图：
（1）证明：PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）求线段PQ的长．

Answer

（1）取A1B1的中点M，AA1 的中点为N，可证QMNP为平行四边形，故 PQ∥MN，可得PQ∥平面AA1B1B．
（2）在Rt△A1MN 中，由勾股定理可得 MN 的长度，即为PQ 的长度．
（1）证明：取A1B1的中点M，AA1的中点为N，由单位正方体的性质有QM∥A1D1 ，QM=A1D1．
同理可证PN∥A1D1 ，PN= A1D1．故QM和PN平行且相等，故QMNP为平行四边形，∴PQ∥MN．
而MN⊂平面AA1B1B，PQ不在平面AA1B1B 内，故PQ∥平面AA1B1B．
（2）在Rt△A1MN 中，由勾股定理可得MN===，
∴PQ=．