Question

已知过点A（0，1），B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程．

Answer

分两种情况：（1）B点刚好为圆与x轴相切的切点，所以B在x轴上得到a=0，因为直线AB的中垂线与x=4的交点为圆心，
所以先求出中垂线方程，方法是利用中点坐标公式求出A与B的中点坐标，根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出斜率，然后与x=4联立可得圆心坐标，圆心的纵坐标为半径，得到相应圆的方程；（2）AB与x轴平行时即得到a=1，圆与x轴相切，得到AB的中垂线方程为x=2，设出圆心坐标，根据圆心到A的距离等于圆心的纵坐标求出圆心坐标，而圆的半径为圆心的纵坐标，得到圆的方程．
【解析】
（1）设圆心坐标为（x，y），B点为切点时，B在x轴上，所以a=0．则B（4，0），所以AB的中点坐标为（2，），直线AB的斜率为=-，则AB中垂线的斜率为4，所以AB中垂线的方程为y-=4（x-2）与x=4联立解得x=4，y=，所以圆的方程为：（x-4）2+=；

（2）当a=1时，AB与x轴平行，则AB的中垂线方程为x=2，设圆心坐标为（2，y），根据勾股定理得：y2=22+（y-1）2，解得y=，所以圆的方程为：（x-2）2+=．
综上：当a=0时，相对应的圆的方程为：（x-4）2+=；当a=1时，相对应的圆的方程为：（x-2）2+=．