Question

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，
且a₃=4，S₄=S₃+8，求：（1）等比数列{a_n}的通项公式；（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和 T_n．

Answer

（1）因为已知数列{an}为等比数列，所以只要找到首项和公比即可，利用S4=S3+8，S4-S2=a4，得a4=8，再根据求a1和q，代入等比数列通项公式，即可得等比数列{an}的通项公式．
（2）把（1）中所求an=2n-1代入bn=nan，，可得数列{bn}的通项公式为bn=n•2n-1，然后利用错位相减，可以求出数列{bn}的前n项和 Tn．
【解析】
（1）∵S4=S3+8，∴a4=S4-S3=8，又∵a3=4，
∴
∴等比数列{an}的通项公式an=2n-1．
（2）由（1）知：数列{an}的首项为1，公比为2，an=2n-1，bn=n•2n-1，
∴bn=n•2n-1，
∴Tn=b1+b2+b3…+bn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1
2Tn=2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
∴Tn=（n-1）2n+1