Question

（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）
①若曲线（ρ∈R）与曲线为参数，a为常数，a＞0）有两个交点A、B，且|AB|=2，则实数a的值为    ．
②已知a²+2b²+3c²=6，若存在实数a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，则实数x的取值范围为    ．

Answer

①曲线（ρ∈R）是过极点倾斜角为的射线，所在直线的方程是y=x，曲线为参数，a为常数，a＞0）是圆心为（a，0），半径为的圆，由|AB|=2，得，由此能求出a．
②因为已知a、b、c是实数，且a2+2b2+3c2=6根据柯西不等式得到|a+2b+3c|≤6，a+2b+3c的最大值为6，a+2b+3c的最小值为-6．所以使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立的条件是|x+1|＜6，由此能求出x的范围．
【解析】
①∵曲线（ρ∈R）是过极点（0，0）且倾斜角为的直线，
∴曲线C1所在直线的方程是y=x，
∵曲线为参数，a为常数，a＞0）是圆心为（a，0），半径为的圆，
∴由|AB|=2，得圆心（a，0）到曲线C1y=x的距离d==1，
由点到直线的距离公式，得，
解得a=±2．
∵a＞0，
∴a=2．
故答案为：2．
②因为已知a、b、c是实数，且a2+2b2+3c2=6
根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2
故有（a2+2b2+3c2）（12++（ ）2）≥（a+2b+3c）2
故（a+2b+3c）2≤36，即|a+2b+3c|≤6，
即a+2b+3c的最大值为6，a+2b+3c的最小值为-6；
∴使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立的条件是|x+1|＜6，
解得{x|-7＜x＜5}．
故答案为：{x|-7＜x＜5}．