Question

已知a∈R，函数，g（x）=（lnx-1）e^x+x．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：．

Answer

（1）先求函数f（x）的定义域，然后求出导函数f'（x）=0的值为a，讨论a与区间（0，e]的位置关系，根据函数的单调性可求出函数函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）先求导函数，根据（1）可知：当a=1时，在区间（0，e]上有最小值ln1=0则，从而当x∈（0，e]时，，曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直等价于：方程g'（x）=0有实数解，而 g'（x）＞0即方程g'（x）=0无实数解，从而得到结论；
（3）由（1）可知：当a=1时，对∀x∈[0，+∞）恒成立，即当x≥0时，恒有（*）
取x=n（n∈N*），得则
故，在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N*），然后利用裂项法进行求和可得结论．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
∵∴
令
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时，f（x）无最小值；
②若0＜a＜e，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈[a，e]时，f'（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，a]上单调递减，在区间（a，e]上单调递增，
∴当x=a时，f（x）有最小值lna；
③若a≥e，则f'（x）≤0，f（x）在区间（0，e]上单调递减，
∴当x=e时，f（x）有最小值．
综上：
（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x∴
由（1）可知：当a=1时，在区间（0，e]上有最小值ln1=0
∴
∴当x∈（0，e]时，
∵曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直等价于：方程g'（x）=0有实数解，而 g'（x）＞0即方程g'（x）=0无实数解，故不存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直．
（3）（理）由（1）可知：当a=1时，对∀x∈[0，+∞）恒成立，
即  当x≥0时，恒有…（*）
取x=n（n∈N*），得
∴
故  
又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N*），得：
∴
故  
或：又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N*），得：ln[k（k+1）（k+2）]≥ln6＞lne=1
∴
故