Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°AC=BC=a，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又A₁B⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求AA₁与平面ABC所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AA₁-C的正切值．

Answer

（I）证明线面垂直，可用线垂直的判定定理，由题意知，可证A1D⊥BC与AC⊥BC，再由定理得出结论；
（II）求线面角，要先作出线面角，由线面角的定义，线与线在面内的投影所成的角即为线面角，由此找出线面角，在相应的三角形中求出它的三角函数值，再求角；
（III）先由二面角的平面角的定作出二面角的平面角，再在三角形中求出此角的大小．
【解析】
（I）证明：∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
∴A1D⊥面ABC，
∴A1D⊥BC，
∠BCA=90°，
∴AC⊥BC
∵A1D∩AC=D，
∴BC⊥平面ACC1A1；
（II）由（I）知，A1D⊥面ABC，
AA1在平面ABC的射影是AC，
∴∠A1AD是AA1与平面ABC所成的角，又A1B⊥AC1，A1B在平面ACC1A1的投影为A1C，
∴A1C⊥AC，又ACC1A1是菱形，
∴AA1=AC=a，AD=DC=a，在Rt△A1DA中，COS∠A1AD==得∠A1AD=
（III）由（I）知BC⊥平面ACC1A1作CN⊥AA1，于点N，连接BN，∠BNC是二面角B-AA1 -C的平面角，
由图易知CN=a，BC=a
∴在Rt△BCN中，tan∠BNC==，
∴二面角B-AA1 -C的平面角的正切值为