Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，使得方程f（x）-2mx=0在区间（m，m+6）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由不等式解集的形式判断出0，5是f（x）=0的两个根，利用二次函数的两根式设出f（x），求出f（x）在[-1，4]上的最大值，列出方程求出f（x）．
（2）根据第一问可求出方程f（x）-2mx=0的根，而在区间（m，m+6）内有且只有两个不等的实数根，则0与m+5在区间（m，m+6）内且不相等，建立关系式，解之即可．
【解析】
（1）由题设可设f（x）=ax（x-5）（a＞0），
在区间[-1，4]上的最大值为f（-1）=12，
得a=2，f（x）=2x2-10x
（2）方程f（x）-2mx=0，根据（1）可知2x2-10x-2mx=0
解得x=0或m+5
0与m+5在区间（m，m+6）内且不相等，
即m＜0＜m+6且m≠-5
解得-6＜m＜0且m≠-5
∴m的取值范围-6＜m＜0且m≠-5