Question

已知一四棱锥P-ABCD的三视图，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E点分PC为PE：EC=2：1，求点P到平面BDE的距离；
（3）若E点为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer

（1）依据三视图的数据，以及位置关系，直接求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）利用等体积法，即VB-DEP=VP-BDE，求出三棱锥B-DEP的体积和△BDE的面积，即可求得结果；
（3）点E为PC的中点，在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF，说明∠DFB为二面角D-AE-B的平面角，解三角形DFB，求二面角D-AE-B的大小．
【解析】
（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
即四棱锥P-ABCD的体积为 ．
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴，
（2）设点P到平面BDE的距离为h，
则VB-DEP=VP-BDE，而VB-DEP==，
=，
∴h=；
（3）：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF．
∵AD=AB=1，，，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角．
在Rt△ADE中，，
又 ，在△DFB中，由余弦定理得
，
∴∠DGB=120°，即二面角D-AE-B的大小为120°．