Question

设椭圆的左，右焦点为F₁，F₂，（1，）为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自F₁引直线交曲线C于P，Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M，设．
（1）求椭圆方程和抛物线方程；
（2）证明：；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．

Answer

（1）由椭圆、抛物线的标准方程，列方程求解；（2）因为，所以y1=λy2，要证，只需证明
x1-1═-λ（x2-1）由直线和抛物线联立可得x1x2=1，故只需证明x1=λ，x2=，这个结论由联立式和向量式可得；（3）只需将|PQ|表示为关于λ的函数，求函数最值即可．
【解析】
（1）依题意，，又a2=b2+c2，解得，故椭圆方程为
∵F2（1，0），设抛物线方程为y2=2px，则，p=2，故抛物线方程为y2=4x
（2）∵F1（-1，0），设过此点的直线方程为y=kx+k，并设p（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，-y1）
由得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，△＞0时，x1x2=1 （1）
又∵，∴x1+1=λ（x2+1）（2），y1=λy2
由（1）（2）得，x1=λ，x2=
=（x1-1，-y1）=（λ-1，-y1）
=-λ（x2-1，y2）=（λ-1，-λy2）
故
（3）由（2）知 可取 P（λ，），Q（，），则|PQ|==
∵λ∈[2，3]，∴，∴|PQ|∈（ ，）
故|PQ|∈（，）