Question

已知f（x）是定义在R上的不恒等于零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=，b_n=，n∈N^*，下列结论：
①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③f（x）为奇函数；④数列{a_n}为等比数列； ⑤数列{b_n}为等差数列． 正确的序号为    ．

Answer

由函数关系式f（ab）=af（b）+bf（a），可以计算f（0）、f（1）的值，判断①；计算f（-1）的值，得f（-x）与-f（x）的关系，知f（x）的奇偶性，判断②、③；由f（2）、f（2n），得出bn=bn-1+1，判断⑤；由b1、bn，得出an，判断④．
【解析】
∵f（0）=f（0•0）=0•f（0）+0•f（0）=0；f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0；∴f（0）=f（1），故①正确；
由f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），得f（-1）=0，则f（-x）=-1•f（x）+x•f（-1）=-f（x），∴f（x）是奇函数，故②错误，③正确；
又∵f（2）=2，∴f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，∴bn===+1
即bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列，故⑤正确；
又b1==1，∴bn=1+（n-1）×1=n，∴f（2n）=2nbn=n•2n，∴an=2n，∴数列{an}是等比数列，故④正确．
故答案为：①③④⑤．