Question

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．
（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；
（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；
（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a²（1-x）恒成立．求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=2时，f（x）=x2-6x+5=（x-1）（x-5）＜0，由二次不等式的解法可求
（2）f（x）=0时△=8a，二次函数的图象开口向上，分类讨论①△≤0②△＞0两种情况分别进行求解
（3）任意的x∈[0，2]，x2+1≥（-a2+2a+1）x，成立①当x=0时，不等式显然成立②当x∈（0，2]，可得，通过研究函数x+的最值可求a的范围
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=x2-6x+5=（x-1）（x-5）＜0
∴1＜x＜5-----（2分）
（2）f（x）=0时△=8a--（4分）
当a≤0，x∈Φ；-----（6分）
当---（8分）
（3）由题意：任意的x∈[0，2]，x2+1≥（-a2+2a+1）x，成立
当x=0时，不等式显然成立--（10分）
当x∈（0，2]，．
∵
∴-a2+2a+2≤2，即a≤0或a≥2
综上：a≤0或a≥2---（16分）