Question

设x、y∈R⁺，S=x+y，P=xy，以下四个命题中正确命题的序号是    ．（把你认为正确的命题序号都填上）
①若P为定值m，则S有最大值；②若S=P，则P有最大值4；③若S=P，则S有最小值4；④若S²≥kP总成立，则k的取值范围为k≤4．

Answer

对于①，当P为定值m时，利用基本不等式S应有最小值2，；对于②，S=P时，xy≥2⇒≥2得出Pmin=4；对于③，由x+y=xy≤⇒x+y≥4⇒Smin=4；对于④，S2≥kP⇒k≤，结合基本不等式得出k≤4．从而得出正确答案．
【解析】
P为定值m时，S=x+y≥2=2，S应有最小值2，故①不正确．
S=P时，x+y=xy⇒xy≥2⇒≥2⇒xy≥4⇒Pmin=4，∴②也不正确．
由S=P⇒x+y=xy≤⇒x+y≥4⇒Smin=4，∴③正确．
S2≥kP⇒k≤，又，
∴（）min=4．∴k≤4．
∴④正确．
故答案为：③④．