Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥    P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=，BC=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer

解法一：（Ⅰ）根据PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得BD⊥PA．又可证BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，则∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．在Rt△EFD中，我们可求二面角A-PC-D的余弦值为．
解法二：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量的数量积，我们可以证明BD⊥AP，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，利用，可得，平面PAC的法向量取为，利用，我们可求二面角A-PC-D的余弦值．
解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．
又，，
∴∠ABD=30，°∠BAC=60°
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC   
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，
∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，
∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．
又∠DAC=90°-∠BAC=30°
∴DE=ADsin∠DAC=1，AE=ABsin∠ABE=，
又AC=，
∴EC=，PC=8．
由Rt△EFC∽Rt△PAC得
在Rt△EFD中，，
∴．
∴二面角A-PC-D的余弦值为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），B（），，D（0，2，0），P（0，0，4）
∴，
∴，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，
则，
又，
∴，解得
∴    
平面PAC的法向量取为
∴=
∴二面角A-PC-D的余弦值为．