Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）把a=1代入求出其导函数，进而求出f'（2）以及f（2）即可求出方程；
（II）先求出其导函数以及导数为0的根，比较根与区间两端点的大小关系，求出其在x∈（0，e]上的单调性以及在x∈（0，e]上的最小值；即可判断出是否存在a．．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x-lx，f'（x）=1-=（1分）
∴切线斜率为f'（2）=，切点（2，2-ln2），
∴切线的方程为x-2y+2-2ln2=0
（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f'（x）=a-=
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae-1=3⇒a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．（11分）
②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（ ，e]上单调递增
f（x）min=f（ ）=1+lna=3，a=e2，满足条件．（12分）
③当 ≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae-1=3⇒a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．（14分）