Question

已知数列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，…a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀是公差为d²的等差数列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀是公差为d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．试写出a_10（n+1）关于d的关系式，并求当公差d＞0时a_10（n+1）的取值范围．

Answer

（1）由a10=10及a20=10+10d=40可求公差 d
（2）由已知可得a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0）=，根据二次函数的性质可求
（3）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2…a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…a10（n+1）是公差为dn的等差数列，从而由a40=a30+10d3=10（1+d2+d3），
依此类推可得a10（n+1）=10（1+d+…+dn）=进而可求d＞0时，a10（n+1）的取值范围
【解析】
（1）∵a10=10，a20=10+10d=40
∴d=3．（2分）
（2）a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0），（4分）
=，（6分）
当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）．（8分）
（3）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2…a10是首项为1，
公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…a10（n+1）是公差为dn的等差数列．（10分）
由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3），
依此类推可得a10（n+1）=10（1+d+…+dn）=（12分）
当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）．（13分）