Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是DD₁，B₁C₁的中点，P是棱AB上的动点，则A₁M与PN所成的角的大小是    ．

Answer

取CC1的中点为E，令B1E与BN的交点为F．可以证明A1M∥B1E，继而证明A1M⊥平面ABN，而PN在平面ABN上，故可得结论．
【解析】
取CC1的中点为E，令B1E与BN的交点为F．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴DD1=CC1、DD1∥CC1，
又MD1=、EB1=，
∴MD1=EC1，
∴MEC1D1是平行四边形，
∴ME=D1C1、ME∥D1C1．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴A1B1=D1C1、A1B1∥D1C1．
∵ME=D1C1、ME∥D1C1．
∴ME=A1B1、ME∥A1B1，
∴MEA1B1是平行四边形，
∴A1M∥B1E．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴BCB1C1是正方形，
∴BB1=B1C1=CC1、∠BB1N=∠B1C1E=90°，
又B1N=、C1E=，
∴B1N=C1E．
由B1N=B1C1、∠BB1N=∠B1C1E、B1N=C1E，得：△BB1N≌△B1C1E，
∴∠BNB1=∠B1EC1，
∴E、F、N、C1共圆，而∠B1C1E=90°，
∴B1E⊥BN．
由A1M∥B1E、B1E⊥BN，得：A1M⊥BN．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴AB⊥平面AA1D1D，
又A1M在平面AA1D1D上，
∴A1M⊥AB．
由A1M⊥BN、A1M⊥AB，BN∩AB=B得：A1M⊥平面ABN，而PN在平面ABN上，
∴A1M⊥PN，
∴A1M与PN所成的角为90°．
故答案为：90°