Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（2）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数．

Answer

（Ⅰ）先根据Sn+1=2Sn+n+5可得到Sn=2Sn-1+n+4，然后两式相减可得到Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1，即an+1=2an+1然后两边同时加1即可得到an+1+1=2（an+1），即 ．从而得证．
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求出an的通项公式，再对函数f（x）进行求导，得到f'（x）的表达式，然后将an的表达式代入进行分组求和即可．
证明：（Ⅰ）由已知Sn+1=2Sn+n+5，∴n≥2时，Sn=2Sn-1+n+4，
两式相减，得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1，
即an+1=2an+1，从而an+1+1=2（an+1）．
当n=1时，S2=2S1+1+5，∴a1+a2=2a1+6又a1=5，∴a2=11，
从而a2+1=2（a1+1）．故总有an+1+1=2（an+1），n∈N*．
又∵a1=5，，∴an+1≠0，从而 ．
即{an+1}是以a1+1=6为首项，2为公比的等比数列．
【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=3×2n-1．
∵f（x）=a1x+a2x2+…+anxn∴f'（x）=a1+2a2x+…+nanxn-1．
从而f'（1）=a1+2a2+…+nan=（3×2-1）+2（3×22-1）+…+n（3×2n-1）
=3（2+2×22+…+n×2n）-（1+2+…+n）
=
=
=．