Question

已知f（x）=x²+2x+3，g（x）=log_5m-2x命题p：当x∈R时，f（x）＞m恒成立．  命题q：g（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）若命题q为真命题，求m的取值范围；
（2）若命题p为真命题，求m的取值范围；
（3）若在p∧q、p∨q中，有且仅有一个为真命题，求m的取值范围．

Answer

（1）若命题q为真命题，说明f（x）的最小值也要大于m，因此只要求出f（x）在R上的最小值，即可得m的取值范围；
（2）若命题p为真命题，说明对数函数的底数为大于1的正数，因此可求出m的取值范围；
（3）若在p∧q、p∨q中，有且仅有一个为真命题，说明“p真q假““p假q真“，结合（1）（2）的结论可以得出m的取值范围．
【解析】

（1）若命题q为真命题，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则5m-2＞1，∴…（2分）
（2）当x∈R时，f（x）=x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，f（x）的最小值为2    …（4分）
若命题p为真命题，即f（x）＞m恒成立，则m＜2…（6分）
（3）在p∧q、p∨q中，有且仅有一个为真命题，则可能有两种情况：p真q假、p假q真，…（7分）
①当p真q假时，由得…（9分）
②当p假q真时，由得m≥2…（11分）
综上知，m的取值范围为…（12分）