Question

抛物线y²=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上（A点在第一象限，B点在第四象限），且|FA|=2，|FB|=5，
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段AB的长度和直线AB的方程；
（3）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

Answer

（1）由题设条件知，|FA|=2，|FB|=5，可根据抛物线的定义求出两点的横坐标，再代入方程求出它们的纵坐标，求得点A、B的坐标；
（2）由（1）两点坐标已知，故由两点间距离公式求出两点的距离，由直线方程的两点式求出直线AB的方程；
（3）由题意，求△PAB的面积最大值可转化为求点P到直线AB的距离的最大值，设出点P的坐标，由点到直线的距离公式建立起点P到直线AB的距离的函数关系式，利用函数的知识求出最值，即可求出面积的最大值以及此时的点P的坐标．
【解析】
（1）抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x1，y1），y1＞0，
由|FA|=2得x1+1=2，x1=1，代入y2=4x中得y1=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
（2）由A（1，2），B（4，-4）得…（6分）
直线AB的方程为，化简得2x+y-4=0．…（8分）
（3）设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），且0≤x≤4，-4≤y≤2．
则点P到直线AB的距离d=== …（9分）
所以当y=-1时，d取最大值，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=×3×=27  …（11分）
此时P点坐标为（，-1）．…（12分）