Question

已知a₁=1，
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）判断x_n与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|≤．

Answer

（1）利用a1=1，，可求a2，a3，a4的值；
（2）将an与2作差，变形即可判断an与2的大小关系；
（3）利用an＞0，得：an≥1，≤，|an-2|≤，以此类推可逐项代 入左端，即可．
【解析】
（1）由已知得，，，（3分）
（2）当n为奇数时，an＜2；当n为偶数时，an＞2（5分）
因为，（6分）
注意到an＞0，所以an-2与an-1-2异号
由于a1=1＜2，所以a2＞2，以此类推，
当n=2k-1（k∈N*）时，an＜2；
当n=2k（k∈N*）时，xn＞2（8分）
（3）由于an＞0，，
∴an≥1（n=1，2，3，…）（9分）
又≤（10分）
∴|an-2|≤≤≤…≤（12分）
|∴a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|≤=（14分）