Question

请认真阅读下列程序框图：
已知程序框图x_i=f（x_i-1）中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数x_i组成一个数列{x_n}．
（1）若输入，请写出数列{x_n}的所有项；
（2）若输出的无穷数列{x_n}是一个常数列，试求输入的初始值x的值；
（3）若输入一个正数x时，产生的数列{x_n}满足：任意一项x_n，都有x_n＜x_n+1，试求正数x的取值范围．

Answer

（1）利用 ，及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{xn}的只有三项；
（2）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有 ，从而求出相应的初始数据x的值；
（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有xn＜xn+1，则必须 ，得1＜xn＜2，要使任意一项xn，都有xn+1＞xn，须（x-2）（x-1）＜0，解得：1＜x＜2，从而得出结论．
【解析】
（1）当时，因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴，
，
∉D，
所以数列{xn}只有三项 ．
（2）数列{xn}是一个常数列，则有x1=x2=…=xn=x即  ，解得：x=1或x=2，
所以输入的初始值x为1或2时输出的为常数列．
（3）由题意知 ，因x＞0，
∴xn＞0，有：得4xn-2＞xn（xn+1）即xn2-3xn+2＜0，即（xn-2）（xn-1）＜0
要使任意一项xn，都有xn+1＞xn，须（x-2）（x-1）＜0，解得：1＜x＜2，
所以当正数x在（1，2）内取值时，所输出的数列{xn}对任意正整数n满足xn＜xn+1．