Question

已知B、C是抛物线x²=2py（p＞0）上的两点，O为坐标原点，若|OB|=|OC|，且△BOC的垂心为抛物线的焦点．
（1）求直线BC的方程；
（2）设直线BC与Y轴相交于A点，Q为抛物线上的动点，eQ以Q为圆心且过点A，问是否存在定直线平行于x轴，且被eQ截得的弦长为定值？

Answer

（1）由|OB|=|OC|得知，B、C关于y轴对称，再由△BOC的垂心为抛物线的焦点．得OC⊥BF，从而由此求得BC的方程；
（2）由（1）知A点坐标，由线y=b和圆Q截得弦长为定值得到几何关系，由此求出交点弦长，及求出定直线方程．
【解析】
（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由|OB|=|OC|得x12+y12=x22+y22，
又x12=2py1，x22=2py2，代入上式化简得（y1-y2）（y1+y2+2p）=0，
而y1，y2≥0，∴y1=y2．即B、C关于y轴对称．∴点C的坐标为（-x1，y1）
又OC⊥BF，∴化简得，
所以BC的方程为y=．
（2）由（1）得A，设Q（x，y），假设存在直线y=b和圆Q截得弦长为定值，设两交点为M、N，
则由勾股定理得

=      
又∵，x2=2py∴MN=4P，即直线y=．
因此，存在这样的定直线平行于x轴，且被eQ截得的弦长为定值．