Question

已知，
（I）讨论f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并证明；
（II）若方程f（x）=g（x）至少有一个正数根，求实数m的取值范围．

Answer

（I）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x1，x2∈（-2，+∞）；②作差f（x1）-f（x2）变形；③定号；④下结论；
（II）由f（x）=g（x），整理得：mx2+（m-3）x+1=0，然后对m进行分类讨论，研究方程f（x）=g（x）至少有一个正数根，从而求出实数m的取值范围．
【解析】
（I）因为，所以，当时，
f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数，当时，f（x）在区间（-2，+∞）上为减函数．…（2分）
任取x1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2，则=，
因为x1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2，
所以，（x1+2）（x2+2）＞0，且x1-x2＜0，当时，有f（x1）-f（x1）＜0，f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数；
当时，有f（x1）-f（x1）＞0，f（x）在区间（-2，+∞）上为减函数．…（5分）
（II）f（x）=g（x）⇔x-2m-5=mx2+（m-2）x-2m-4
整理得：mx2+（m-3）x+1=0，…（5分），
令h（x）=mx2+（m-3）x+1
当m=0时，，符合题设；…（6分）
当m＜0时，必有△＞0，且，h（-2）=2m+7≠0，符合题设；…（7分）
当m＞0时，因为，所以，方程的两根必须都是正根，有：，
解得：0＜m≤1，
综上所述，m≤1且．…（10分）