Question

下列四个命题：①的常数项是第n项；②（a+b）²ⁿ的前n项二项式系数之和等于后n项二项式系数之和，均等于2^2n-1；③展开式中a的正指数项的系数之和大于a的负指数项的系数之和；④（3x+28x²-1）⁹⁹•（5x-7x²+2）⁸的常数项是2⁸其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①根据二项式展开式的通项可得当r=n时即Tr+1是常数项．②展开式共有2n+1项，并且所有项的二项式系数之和22n．
③a正指数项的系数之和为Cn2n+Cn12n-1+Cn22n-2+…，a的负指数项的系数之和为Cnn2+Cnn-121+Cnn-222+…．
④常数项是-28．
【解析】
①由题意可得：展开式的通项为Tr+1=C2nra2n-2r，所以当r=n时即Tr+1是常数项，所以①错误．
②由题意可得：（a+b）2n的展开式共有2n+1项，并且所有项的二项式系数之和22n，所以展开式的前n项二项式系数之和与后n项二项式系数之和均等于22n-1错误，所以②错误．
③展开式的通项为Tr+1=2n-rCnran-2r，a正指数项的系数之和为Cn2n+Cn12n-1+Cn22n-2+…，a的负指数项的系数之和为Cnn2+Cnn-121+Cnn-222+…，所以③正确．
④（3x+28x2-1）99•（5x-7x2+2）8=[（3x+28x2）-1]99•[（5x-7x2）+2]8的常数项是-28，所以④错误．
故选A．