Question

（如图）过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．

Answer

（1）设M的左特征点，由椭圆左焦点F（-2，0），可设直线AB方程为x=ky-2（k≠0），代入，得（k2+5）y2-4ky-1=0，由∠AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，即整理可求．
（2）对于椭圆，，结合椭圆的性质特征可猜想：椭圆的左特征点是椭圆的左准线与x轴的交点，然后可以利用第二定义给与证明．
【解析】
（1）设M的左特征点
因为，椭圆的左焦点F（-2，0），
可设直线AB的方程为x=ky-2（k≠0）
代入，得：（ky-2）y2+5y2=5，
即（k2+5）y2-4ky-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）得，
由于，∠AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，即y1（x2-m）+y2（x1-m）=0，即y1（ky2-2）+y2（ky1-2）-（y1+y2）m=0
所以，2ky1y2-（y1+y2）（m+2）=0
于是，
因为k≠0，所以1+2（m+2）=0，即
（2）对于椭圆，，
于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点
证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，
垂足为C、D．
据椭圆的第二定义：
由于AC∥FM∥BD，所以
于是
所以，∠AMC=∠BMD⇒∠AMF=∠BMF
则MF为∠AMB的平分线
故M为椭圆的“左特征点”．