Question

f（x）=alnx+bx²+x在x₁=1与x₂=2时取得极值，
（1）试确定a、b的值；
（2）求f（x）的单调增区间和减区间．

Answer

（1）求出f′（x），令其为0得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出a与b即可；
（2）因为要求f（x）的单调增区间，令f′（x）＞0求出x的范围；减区间，令f′（x）＜0即可得到x的范围．
【解析】
（1）令f'（x）=+2bx+1=0
则2bx2+x+a=0
由题意知：x=1，2是上方程两根，由韦达定理得：1+2=-，1×2=；
∴a=-；
（2）由（1）知：f′（x）=-（x-1）（x-2）
令f′（x）＞0则＜0，解得：x＜0或1＜x＜2
令f′（x）＜0则＞0，解得x＞2或x＜1
根据对数函数定义得x＞0
∴f（x）的单调增区间为（1，2），减区间是（0，1）和（2，+∞）．