Question

已知函数f（x）=x³-3x²-9x．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-2，2]上的最值．

Answer

（Ⅰ）由令f′（x）=3x2-6x-9＞0，解得x＜-1或x＞3，由此能够得到函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ） 当x变化时，列表讨论f’（x）与f（x）的变化情况．从而可知，当x=-1时，函数f（x）取得最大值5，当x=2时，函数f（x）取得最小值-22．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x3-3x2-9x．
得f′（x）=3x2-6x-9，
令f′（x）=3x2-6x-9＞0，
解得x＜-1或x＞3，（4分）
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
（Ⅱ） 当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：

x -2 （-2，-1） -1 （-1，2） 2
f’（x） + -
f （x） -2 ↑ 极大值5 ↓ -22

（8分）
从而可知，当x=-1时，函数f（x）取得最大值，即f（-1）=（-1）3-3（-1）2-9（-1）=5，
当x=2时，函数f（x）取得最小值即f（2）=23-3×22-9×2=-22．（10分）